Proseminar zu quadratischen Formen

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Dienstag 10-12 Uhr Raum WSC-S-3.14

Einleitung: Das Thema des Proseminars heisst quadratische Formen. Man kann das auch als quadratische Räume ausdrücken. Das ist eine Verallgemeinerung des Begriffs eines euklidischen Raums. Statt eines reellen Vektorraums mit einem Skalarprodukt betrachtet man Vektorräume über einen Körper K, versehen mit einer (meist nicht entartigten) symmetrischen Bilinearform. Weil K nicht unbedingt die reellen Zahlen sein muss, verlangt man nicht, dass die Bilinearform positiv definit sein muss, vor allem weil es in einem beliebigen Körper keinen Positivitätsbegriff gibt. 

Man kann sehr einfache Fragen über quadratischen Formen q(x) mit Koeffizienten in einem Körper K stellen: für welches b in K ist die Gleichung q(x)=b lösbar? Gibt es eine Grenze n, sodass jede quadratische Gleichung q(x)=0 in mindestens n Variablen eine nicht Null Lösung hat? Wenn ja, was ist das minimale n? Die Antworten zu diesen Fragen sagen viel über den Körper K aus.

Dieses Thema hat tiefe Wurzeln in der Mathematik und ist gleichzeitig ein lebendiger Bestandteil der modernen Mathematik. 

Ablauf des Proseminars:

Teil I-Grundlagen der quadratischen Formen

1. 28.10.2014 Simon Hermhens-Bilinearformen, quadratische Räaumen, Isometrien und andere elementare Begriffe [Kap. I, S1]{Scharlau} (siehe auch [S1.1, 1.2]{Scharlau2}).

2: 4.11.2014 Laura Bürger-Matrizen für Bilinearformen und quadratischen Formen, Ähnlichkeit, die Orthogonalgruppe. [Kap. I, S2]{Scharlau} (siehe auch [S1.1, 1.2]{Scharlau2}).

3: 11.11.2014 Chiara Kretschmer- Diagonalisierung, Radikal und regulären Teil [Kap. I, S3]{Scharlau} (siehe auch [S1.3]{Scharlau2} und [Theorem 1', pg. 34]{Serre}).

4: 18.11.20014 Annika Engel- Isotropische Vektoren und hyperbolische Ebene Kap. I, S4]{Scharlau}.

5: 25.11.20014 Sven Leitgeber-Der Satz von Witt. Die Witt'sche Zerlegung. [Kap. I, S5]{Scharlau}.

6: 2.12.2014 Marc Levine-Die Grothendieck und Witt Ringen, Invarianten. [Kap. II, S1, 2]{Scharlau} (siehe auch S1.6]{Scharlau2} bis zum Definition 1.6.4).

7: 9.12.2014 Simon Hermhens-Berechnung der Witt Ring: Beispiele. [Kap. II, S3]{Scharlau} (siehe auch [Theorem 1.4.4]{Scharlau2}). Sie sollten auch kurz endlichen Köorper diskutieren: [S1.1, 1.2]{Serre} oder [Algebraic Supplement, S3, lemma 1, theorem 1, auch theorem 2 zitieren]{BS}.

8: 16.12.2014 Laura Bürger-Berechnung der Witt Ring: Reelle Köorper [Kap. II, S4]{Scharlau}. Sie dürfen sich auch auf dem Fall K=R beschränken.

Man sollte auch die Arbeit von Witt {Witt} (wenigstens Teil I) anschauen.

Teil II-quadratische Formen mit p-adischen Koeffizienten

9: 13.01.2015 Chiara Kretschmer- Endliche Körper, das Legendresymbol und der quadratische Reziprozitätsatz [Kap. I, S3.1, 3.2, 3.3]{Serre}.

10: 20.01.2015 Marc Levine- p-adischen Zahlen [Kap. I, S3.1-.4, 4.1, 4.2]{BS}

11. 27.01.2015 Annika Engel- Die Lösung p-adischer Gleichungen [Kap. I, S5.1, 5.2]{BS} bis zum Theorem 3 und Corollary (inklusiv).

12. 3.02.2015 Sven Leitgeber- Quadratische p-adischen Zahlen und die Darstellung des Nulls durch p-adischen quadratischen Formen [Kap. I, S6.1, 6.2]{BS}.

13. 10.02.2015 ???-Binäre p-adischer Formen [Kap. I, S6.3]{BS}.

Teil III-quadratischen Formen mit rationalle Koeffizienten

14. 17.02.2015 Marc Levine- Der Satz von Hasse-Minkowski.[Kap. I, S7.1-.4]{BS}.

Literaturverzeichnis

{BS} Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich, Number Theory. Translated from the Russian by Newcomb Greenleaf. Pure and Applied Mathematics, Vol. 20 Academic Press, New York-London 1966 x+435 pp.

{Scharlau} W. Scharlau, Quadratic and Hermitian forms. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 270. Springer-Verlag, Berlin, 1985. x+421 pp.

{Scharlau2} W. Scharlau, Quadratic forms. Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, No. 22 Queen's University, Kingston, Ont., 1969 iii+162 pp.

{Serre} J.-P. Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973. viii+115 pp.

{Witt} E. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliegen Körpern, J. reine angew. Math. 176, 31-44 (1937).