Teaching and seminars
Mündliche Prüfungen zur Linearen Algebra 1 & 2
Um einen Termin für die mündliche Prüfung zur Linearen Algebra 1 & 2 zu vereinbaren, senden Sie bitte eine E-Mail an die Adresse: massimo.bertolini@uni-due.de
WiSe 2024-25
ALGEBRA
Termine
Mo 10-12, WSC-S-U-4.02
Mi 14-16, WSC-S-U-4.02
erster Termin: 07.10.2024
(Link zum LSF-Eintrag)
Notwendige Vorkenntnisse für diesen Kurs sind Lineare Algebra 1 und 2.
Beschreibung
Dieser Kurs ist eine Fortsetzung der Linearen Algebra 1 und 2, welcher überwiegend auf das Studium der Galoisgruppen fokussiert ist. Die Galoisgruppe eines Polynoms p(T) mit Koeffizienten in einem Körper K ist die Gruppe der Symmetrien der Nullstellen von p(T). Genauer gesagt, sei L der kleinste Körper, welcher K und die Nullstellen von p(T) enthält. Sei außerdem G(L/K) die Gruppe der K-Automorphismen des Körpers L. Dies ist die sogenannte Galoisgruppe der Körpererweiterung L/K. Unter bestimmten Bedingungen besagt der Hauptsatz der Galoistheorie, dass eine kanonische Bijektion zwischen den Untergruppen von G(L/K) und den Zwischenkörpern von L/K existiert. Anwendungen zur Lösbarkeit der algebraischen Gleichungen werden im Kurs diskutiert.
Literatur
- Bosch, Siegfried: Algebra, Springer-Verlag, 2013.
Dieses Buch ist über die Universitätbibliothek kostenlos online verfügbar (online-Zugang Universitätbibliothek)
Moodle
Ein elektronischer Kursraum wird in Moodle verfügbar sein. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum ist ab dem 05.10.2024 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist Galois2024.
- Meets on Montag 16-18 (WSC-S-U-3.03), Wednesday 12-14 (WSC-S-U-3.03), problem session Wednesday 16-18 (WSC-S-U-3.03).
- Course in english
- Office hours: by appointment
I will teach the last third of this course, on the topic of Complex Multiplication (one of the fundamental arithmetic applications of the theory of modular forms). The first two thirds of the course are offered by Dr. Xiaoyu Zhang and are devoted to the foundations of the theory. All the details, including the enrollment in the Moodle page of the course can be found on the web page of Dr. Zhang.
Time: tba.
Topics on arithmetic algebraic geometry
SoSe 2024
LINEARE ALGEBRA II
Termine
Mo 14-16, Hörsaal S07 S00 D07 (Hörsaalzentrum, Campus Essen)
Mi 12-14, Hörsaal S07 S00 D07 (Hörsaalzentrum, Campus Essen)
erster Termin: 08.04.2024
(Link zum LSF-Eintrag)
Globalübung
Mi, 14 - 16 Uhr, Hörsaal S06 S00 B29, alle 14 Tage von 17.04.2024 im Wechsel mit der Analysis I
Beschreibung
Dieser Kurs ist eine Fortsetzung der Linearen Algebra I mit besonderem Schwerpunkt auf Determinanten, Normalformentheorie und euklidischen und unitären Vektorräumen.
Literatur
- Bosch, Siegfried: Lineare Algebra, Springer-Verlag, 2005
- Fischer, Gerd: Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer-Spektrum, 3. Auflage, 2017
- Jänich, Klaus: Lineare Algebra, 11. Auflage, Springer-Verlag, 2008
Moodle
Ein elektronischer Kursraum ist in Moodle verfügbar. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum seit dem 08.04.2024 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist Laplace2024
Time: tba.
Topics on arithmetic algebraic geometry
WS 2023-24
LINEARE ALGEBRA I
Termine
Mo 14-16, Hörsaal S07 S00 D07 (Hörsaalzentrum, Campus Essen)
Mi 12-14, Hörsaal S05 T00 B08 (Hörsaalzentrum, Campus Essen)
erster Termin: 09.10.2023
(Link zum LSF-Eintrag)
Globalübung
Mi, 14 - 16 Uhr, Hörsaal S07 S00 D07, alle 14 Tage von 17.10.2018 im Wechsel mit der Analysis I
Beschreibung
Die Studierenden erhalten eine Einführung in die Grundlagen der Linearen Algebra mit besonderem Schwerpunkt auf lineare Transformationen zwischen Vektorräumen. Diese kann man mit Hilfe von Matrizen darstellen und für die Untersuchung von linearen Gleichungssystemen verwenden. Zudem werden einige grundlegende Konzepte der Logik und Mengentheorie eingeführt, welche zum Erlernen der mathematischen Beweisführung von Bedeutung sind.
Literatur
- Bosch, Siegfried: Lineare Algebra, Springer-Verlag, 2005
- Fischer, Gerd: Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer-Spektrum, 3. Auflage, 2017
- Jänich, Klaus: Lineare Algebra, 11. Auflage, Springer-Verlag, 2008
Moodle
Ein elektronischer Kursraum ist in Moodle verfügbar. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum seit dem 08.10.2023 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist Gauss2023
Time: tba.
Topics on arithmetic algebraic geometry
WS 2022-23
MATHEMATISCHES MODELLIEREN
Termine
Mo 16-18, WSC-S-U-4.02; Do 10-12, WSC-S-U-4.02; Übungsgruppen: Do 8-10, WSC-S-U-4.02; Do 14-16, WSC-S-U-4.02.
erster Termin: 10.10.2022
(Link zum LSF-Eintrag)
Moodle
Ein elektronischer Kursraum wird in Moodle verfügbar sein. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum ist ab dem 9.10.2022 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist Modell22
Dateien für den Kurs
- Meets every Monday, 12-14, WSC-S-U-3.01.
- Seminar in english
N.B.: Students interested should contact me by e-mail as soon as possible. After I have an idea of the participants, I will be able to prepare a detailed program and organise a preliminary meeting.
Tentative program: This seminar is devoted to the study of Iwasawa theory and zeta values.
Topics:
- Iwasawa algebras and p-adic measures.
- Z_p-extensions.
- Cyclotomic fields: class groups, circular and local units.
- Iwasawa’s control theorem.
- Euler systems and Iwasawa’s Main conjecture.
Possible lectures:
I will give an overview on the following topics on October 10. Each of them can be covered in one or two lectures (not all of them will be covered in the seminar).
Dr. Xiaoyu Zhang will assist the participants in the preparation of their lectures.
[W] resp. [L] refers to Washington’s book resp. Lang’s book.
Lecture 1 & 2: Dirichlet L-series and Bernoulli numbers. [W, chapter 4] and also [L 3.1, 3.2]
Lecture 3 & 4: Distribution properties of Bernoulli numbers. Kummer and von Staudt congruence. [L 2.2]
Lecture 5 & 6: Measures and power series. Operations on measures and power series. [L 4.1, 4.2]
Lecture 7 & 8: Definition of the p-adic L-function. The p-adic regulator. [L 4.3, 4.4] and possibly [L 10.1, 10.2]
Lecture 9 & 10: The Iwasawa algebra. Weierstrass preparation theorem. The theory of modules over the Iwawasa algebra. [L 5.1, 5.2, 5.3] and also [W 13.1, 13.2]
Lecture 11 & 12: Iwasawa's theorem. [W 13.3, 13.4]
Additional topic: Introduction to Iwasawa’s main conjecture [L, Appendix]
Selected bibliography:
[W] L. Washington, Introduction to cyclotomic fields, Springer-Verlag.
[L] S. Lang, Cyclotomic fields I & II, Springer-Verlag.
[CS] J. Coates, S. Sujatha, Cyclotomic fields and zeta values, Springer-Verlag.
Moodle
A Moodle page for this course is available at Moodle Enrollment is possible from 5.10.2022, using the password Iwasawa22
SS 2022
Algebraic Geometry IV
- Meets on Tuesday 10-12, WSC-N-U-4.05, Friday 12-14, WSC-S-U-3.01.
- Course in English
- Office hours: by appointment
Tentative program: This course is to some extent a continuation of Algebraic Geometry III, which covered rigid geometry. Among others, it plans to cover:
- Adic spaces
- Perfectoid fields and rings
- Perfectoid spaces
- Arithmetic applications
Selected bibliography:
Wedhorn, T., Adic spaces, https://arxiv.org/pdf/1910.05934.pdf
Scholze, P., Perfectoid Spaces. Publ. Math. Inst. Hautes tudes Sci. 116 (2012), 245-313.
Weinstein, J., Arizona Winter School 2017: Adic Spaces, https://www.math.arizona.edu/~swc/aws/2017/2017WeinsteinNotes.pdf
Moodle
A Moodle page for this course is available at Moodle Enrollment is possible from March 28, using the password Adic.2022
- Meets every Tuesday, 14-16, WSC-N-U-3.04.
- Seminar in english
N.B.: Students interested should contact me by e-mail as soon as possible. After I have an idea of the participants, I will be able to prepare a detailed program.
Tentative program:
This seminar is devoted to the theory of p-adic uniformisation of curves. The Tate curve is a basic example in genus 1. For curves of higher genus with split nodal reduction Mumford’s theory establishes a 1-1 correspondence of the isomorphism classes of such curves with conjugacy classes of so-called Schottky groups.
The seminar will build this theory from scratch and plans to cover the following topics:
- Schottky groups.
- Automorphic forms.
- Analytic subspaces of P^1.
- Mumford curves.
Selected bibliography:
The seminar will be based on the following book, which is available online at the University library:
Gerritzen, L., Van der Put, M., Schottky groups and Mumford curves, Lecture Notes in Mathematics 817, Springer.
Moodle
A Moodle page for this course with additional details is available at Moodle Enrollment is possible from March 28, using the password Schottky.2022
Seminar on Euler systems (PhD seminar)
Time: tba.
Topics on arithmetic algebraic geometry
WS 2021-22
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Termine
Di 14-16, S04 T01 A01
erster Termin: 12.10.2020
(Link zum LSF-Eintrag)
Veranstaltungsnummer 0575
Moodle
Ein elektronischer Kursraum wird in Moodle verfügbar sein. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum ist ab dem 10.10.2021 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist Gauss2021.
- Meets on Tuesday 10-12, WSC-S-U-3.01, Friday 12-14, WSC-S-U-3.01, problem session Friday 14-16, WSC-S-U-3.01.
- Course in English
- Details will be found on the Moodle page of the course.
- Office hours: by appointment
Tentative program:
This course is devoted to developing the foundations of rigid and formal geometry. Among others, it plans to cover:
- Tate and affinoid algebras
- Rigid spaces
- Adic rings and formal schemes
Selected bibliography:
S. Bosch, Lectures on formal and rigid geometry, Springer
Moodle
A Moodle page for this course is available at Moodle. The password is 196884. Enrollment in the course is possible via Moodle from 08.10.2021. The password is 196884. The Moodle page contains all the information on the course.
Time: tba
Topics on arithmetic algebraic geometry
SS 2021
Algebraic Geometry II
- Meets on Monday 12-14, Wednesday 12-14, problem session Friday 14-16.
- Course in English
- Lectures via Zoom. Details will be found on the Moodle page of the course, which will be set up in due course.
- Office hours: by appointment
Tentative program: This course is a continuation of Algebraic Geometry I. Among others, it plans to cover:
- Differentials
- Sheaf and scheme cohomology
- Flat morphisms
- Smooth and etale morphisms
- Duality and algebraic curves
Selected bibliography:
R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52. Springer-Verlag, New York, 1977.
Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press, 2002.
Moodle
A Moodle page for this course is available at Moodle. The password is 196884. Enrollment in the course is possible via Moodle from April 5. The Moodle page contains all the information on the course, including the access data to Zoom and the notes of the various lectures.
- Meets every Monday, 14-16.
- Lectures via Zoom.
- Seminar in english
N.B.: Students interested should contact me by e-mail as soon as possible. After I have an idea of the participants, I will be able to prepare a detailed program.
Tentative program: This seminar is devoted to the study of the theory of local fields.
Topics:
- Discrete valuation rings, Dedekind domains and completions.
- Ramification theory: discriminant and different, ramification groups.
- Group cohomology: definitions, cohomology of finite groups, theorems of Tate and Nakayama, Galois cohomology, class formation.
- Local class field theory: the Brauer group of a local field, the existence theorem.
Selected bibliography:
J.-P. Serre, Local fields, Springer-Verlag.
J.W.S. Cassels - A. Fröhlich, Algebraic number theory, Academic Press.
Moodle
A Moodle page for this seminar is available at Moodle. The password is 196884. Enrollment in the seminar is possible via Moodle from April 5. The Moodle page contains all the information on the seminar, including the access data to Zoom and the notes of the various lectures.
Seminar on Euler systems (PhD seminar)
Tentative time: Wednesday, 16-18 (via Zoom).
Topics on arithmetic algebraic geometry
WS 2020-21
Algebraic Geometry I
- Meets on Monday 12-14, Wednesday 14-16, problem session Friday 12-14.
- Course in English - Lectures via Zoom. Details will be found on the Moodle page of the course, which will be set up in due course.
- Office hours: by appointment
Tentative program: This course is an introduction to the theory of schemes, their morphisms and cohomology, with examples taken from the theory of algebraic curves and varieties. Some basic knowledge of commutative algebra (such as that provided by Algebra 2) is desirable.
Selected bibliography:
R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52. Springer-Verlag, New York, 1977.
Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press, 2002.
Moodle
A Moodle page for this course is available at Moodle. The password is 196884. Enrollment in the course is possible via Moodle from October 26. The Moodle page contains all the information on the course, including the access data to Zoom and the notes of the various lectures.
- Meets every Monday, 16-18 (it will be decided later whether by Zoom or in presence).
- Seminar in english
N.B.: Students interested should contact me by e-mail as soon as possible. After I have an idea of the participants, I will be able to prepare a detailed program.
Tentative program: This seminar is devoted to the study of the arithmetic of elliptic curves. Topics:
- The geometry of elliptic curves
- Elliptic curves over finite fields
- Elliptic curves over local fields
- Elliptic curves over global fields and the Mordell-Weil theorem
- Algorithmic aspects: elliptic curve cryptography and factorisation algorithm
Selected bibliography:
J. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, 2nd edition, Springer-Verlag.
J. Silverman, J. Tate, Rational points on elliptic curves, 2nd edition, Springer-Verlag.
Available online at the University library
Seminar on Euler systems (PhD seminar)
Tentative time: Wednesday, 12-14 (via Zoom).
Topics on arithmetic algebraic geometry
SS 2020
ALGEBRA 2
Termine
Mo 14-16
Mi 14-16
Übung: Mi 16-18
erster Termin: 20.04.2020
(Link zum LSF-Eintrag)
Notwendige Vorkenntnis für diesen Kurs ist Algebra 1.
Beschreibung
Dieser Kurs ist eine Fortsetzung der Algebra 1, welcher überwiegend auf das Studium der kommutativen Ringe und ihrer Eigenschaften fokussiert ist. Einige grundlegende Beispiele sind:
1) Der Ring der ganzen Zahlen Z im Körper der rationalen Zahlen Q. Allgemeiner betrachtet man den Ring der ganzen Zahlen in einem endlichen Erweiterungskörper von Q.
2 ) Der Ring R der Polynome von n Variablen mit Koeffizienten in Z und seine Quotienten und Erweiterungen.
Die Beispiele von Typ 1) gehen in Richtung der Zahlentheorie während die Beispiele von Typ 2) Verbindungen zur algebraischen Geometrie haben. Wir werden beide Richtungen erklären.
Literatur
- Bosch, Siegfried: Algebra, Springer-Verlag, 2013.
- Jantzen, Jens Carsten; Schwermer, Joachim: Algebra, Springer-Verlag, 2014.
Diese Bücher sind über die Universitätbibliothek kostenlos online verfügbar (online-Zugang Universitätbibliothek)
- Atiyah-Mc Donald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley.
Moodle
Ein elektronischer Kursraum wird in Moodle verfügbar sein. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum ist ab dem 13.04.2020 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist 196884. Der Kurs wird im Fernunterricht über die Plattform Zoom angeboten. Bitte melden Sie sich so bald wie möglich in der Woche vom 13. April für den Kurs an, damit ich Ihnen die relevanten Informationen vor Beginn der Vorlesungen über Moodle senden kann.
WS 2019-20
Bachelor Seminar zur "ALGEBRA UND ARITHMETIK"
Tag: Mittwoch, 16-18, WSC-S-U-3.01
Um sich für das Seminar anzumelden, schreiben Sie bitte eine E-mail an massimo.bertolini@uni-due.de
Seminarprogramm
Eine Einführung in das Seminar und eine Vorbesprechung finden am 16. Oktober um 16.00 Uhr in Raum WSC-S-U-3.01 statt.
Notwendige Vorkenntnisse für dieses Seminar sind Lineare Algebra 1 und 2.
Beschreibung
Das Thema des Seminars ist die Untersuchung der Darstellungen von endlichen Gruppen. Eine Darstellung einer Gruppe G ist ein Gruppenhomomorphismus von G nach GL(n;K). Hier bezeichnet GL(n;K) die Gruppe der invertierbaren n x n Matrizen mit Einträgen in einem Körper K, welche in den Kursen Lineare Algebra 1 und 2 gelehrt wurde. Das Ziel ist das Verständnis der Eigenschaften von G zu vertiefen, indem ihr Bild in besser bekannten Gruppen wie GL(n;K) betrachtet wird.
Literatur
- Steinberg, Benjamin: Representation Theory of finite groups. An introductory approach. Springer, 2012.
Dieses Buch ist über die Universitätbibliothek kostenlos online verfügbar (online-Zugang Universitätbibliothek)
- J-P. Serre, Lineare Darstellungen endlicher Gruppen, Akademie-Verlag, Berlin, 1972.
Kalender des Seminars
16.10.2019 (Massimo Bertolini) Einführung
23.10.2019 (Janine Gollan) Vortrag 1
06.11.2019 (Juline Heidt) Vortrag 2
13.11.2019 (Fatma kara) Vortrag 3
27.11.2019 (Funda Karka) Vortrag 4
04.12.2019 (Peng Jin) Vortrag 5
11.12.2019 (Julia Reintke) Vortrag 6
18.12.2019 (Annika Bendel) Vortrag 7
08.01.2020 (Esra Özmen) Vortrag 8 (abgesagt)
15.01.2020 (Ahmet Yilmaz) Vortrag 10
22.01.2020 (Xiaoyu Zhang) Vortrag 8
29.01.2020 (Massimo Bertolini) Vortrag 11
ALGEBRA 1
Termine
Mo 14-16, WSC-S-U-4.01
Mi 10-12, WSC-N-U-3.05
erster Termin: 14.10.2019
(Link zum LSF-Eintrag)
Notwendige Vorkenntnisse für diesen Kurs sind Lineare Algebra 1 und 2.
Beschreibung
Dieser Kurs ist eine Fortsetzung der Linearen Algebra 1 und 2, welcher überwiegend auf das Studium der Galoisgruppen fokussiert ist. Die Galoisgruppe eines Polynoms p(T) mit Koeffizienten in einem Körper K ist die Gruppe der Symmetrien der Nullstellen von p(T). Genauer gesagt, sei L der kleinste Körper, welcher K und die Nullstellen von p(T) enthält. Sei außerdem G(L/K) die Gruppe der K-Automorphismen des Körpers L. Dies ist die sogenannte Galoisgruppe der Körpererweiterung L/K. Unter bestimmten Bedingungen besagt der Hauptsatz der Galoistheorie, dass eine kanonische Bijektion zwischen den Untergruppen von G(L/K) und den Zwischenkörpern von L/K existiert. Anwendungen zur Lösbarkeit der algebraischen Gleichungen werden im Kurs diskutiert.
Literatur
- Bosch, Siegfried: Algebra, Springer-Verlag, 2013.
Dieses Buch ist über die Universitätbibliothek kostenlos online verfügbar (online-Zugang Universitätbibliothek)
Moodle
Ein elektronischer Kursraum wird in Moodle verfügbar sein. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum ist ab dem 14.10.2019 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist 196884.
SS 2019
LINEARE ALGEBRA II
Termine
Mo 14-16, Hörsaal S05 T00 B08 (Hörsaalzentrum, Campus Essen)
Mi 12-14, Hörsaal S07 S00 D07 (Hörsaalzentrum, Campus Essen)
erster Termin: 08.04.2019
(Link zum LSF-Eintrag)
Globalübung
Mi, 14 - 16 Uhr, Hörsaal R14 R02 B07 alle 14 Tage von 10.04.2019 im Wechsel mit der Analysis II
Beschreibung
Dieser Kurs ist eine Fortsetzung der Linearen Algebra I mit besonderem Schwerpunkt auf Determinanten, Normalformentheorie und euklidischen und unitären Vektorräumen.
Literatur
- Fischer, Gerd: Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer-Spektrum, 3. Auflage, 2017
- Bosch, Siegfried: Lineare Algebra, Springer-Verlag, 2005
- Jänich, Klaus: Lineare Algebra, 11. Auflage, Springer-Verlag, 2008
Moodle
Ein elektronischer Kursraum ist in Moodle verfügbar. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum seit dem 08.04.2019 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist 196884
WS 2018-19
LINEARE ALGEBRA I
Termine
Mo 14-16, Hörsaal S05 T00 B08 (Hörsaalzentrum, Campus Essen)
Mi 12-14, Hörsaal S05 T00 B08 (Hörsaalzentrum, Campus Essen)
erster Termin: 08.10.2018
(Link zum LSF-Eintrag)
Globalübung
Mi, 14 - 16 Uhr, Hörsaal V15S - V13 S00 D46, alle 14 Tage von 17.10.2018 im Wechsel mit der Analysis I
Beschreibung
Die Studierenden erhalten eine Einführung in die Grundlagen der Linearen Algebra mit besonderem Schwerpunkt auf lineare Transformationen zwischen Vektorräumen. Diese kann man mit Hilfe von Matrizen darstellen und für die Untersuchung von linearen Gleichungssystemen verwenden. Zudem werden einige grundlegende Konzepte der Logik eingeführt, welche zum Erlernen der mathematischen Beweisführung von Bedeutung sind.
Literatur
- Fischer, Gerd: Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Springer-Spektrum, 3. Auflage, 2017
- Bosch, Siegfried: Lineare Algebra, Springer-Verlag, 2005
- Jänich, Klaus: Lineare Algebra, 11. Auflage, Springer-Verlag, 2008
Moodle
Ein elektronischer Kursraum ist in Moodle verfügbar. Dort können Sie alle Informationen zur Vorlesung abrufen. Einschreibung in den Kursraum seit dem 08.10.2018 möglich. Der Einschreibeschlüssel ist 196884 (der Koeffizient von q der J-Funktion)
WS 2017-18
Modular forms — Aufbaumodul: Modulformen
- Meets on Tuesday 10-12 (WSC-S-U-3.03), Wednesday 14-16 (WSC-S-U-3.01), problem session Friday 12-14 (WSC-S-U-3.03).
- Course in english or german, depending on the needs of the audience
N.B. Students interested in taking the course should contact me as soon as possible by e-mail, so that I can have an idea of the composition of the class in advance.
- Office hours: by appointment
Tentative program: This course will describe the foundations of the complex analytic and arithmetic theory of modular forms. The first part of the course will be devoted to the theory of modular forms over the complex numbers, focusing mostly on the case of forms for the group SL_2(Z). Among others, it will discuss the calculation of the space of modular forms, q-expansions, Hecke operators, modular curves. The second part will introduce, following Serre, p-adic modular forms as p-adic limits of classical modular forms. Explicit examples and arithmetic applications will be discussed.
Selected bibliography:
F. Diamond, J. Shurman, A first course in modular forms. Graduate Texts in Mathematics, 228. Springer-Verlag, New York, 2005.
E. Freitag, R. Busam, Funktionentheorie, Springer-Verlag, 1993.
J-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, GTM 7, 1973.
J-P. Serre, Formes modulaires et fonctions zeta p-adiques, Summer School on Modular Functions, Antwerp 1972, pp. 191 - 268. Lecture Notes in Math., Vol. 350, Springer, Berlin, 1973.
Wednesday, 16-18, Mathematics Department.
SS 2017
Master Seminar on Algebraic Geometry: Algebraic curves and Elliptic curves
- Meets every Monday, 12-14, Room WSC-N-U-4.03, Mathematics Department.
- Seminar in english
N.B.: Students interested should contact me by e-mail as soon as possible, in order to start discussing details of a program.
Tentative program: This seminar is devoted to the study of algebraic curves, also from an arithmetical point of view. Possible topics:
- The foundations of algebraic curves
- The Picard group
- The theorem of Riemann—Roch
- The Hurwitz formula
- Basic facts on elliptic curves
- The structure of the group of rational points of an elliptic curve
- Applications
Selected bibliography:
W. Fulton, Algebraic curves, available on line at http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf
J. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, 2nd edition, Springer-Verlag.
Algebraic Geometry II
- Meets on Tuesday 12-14 (WSC-S-U-3.02), Wednesday 12-14 (WSC-S-U-3.02), problem session Friday 12-14 (WSC-S-U-3.02).
- Course in english
- Office hours: by appointment
Tentative program: This course is a continuation of Algebraic Geometry I. Among others, it plans to cover:
- Sheaves of modules
- Differentials
- Divisors
- Sheaf and scheme cohomology
- Smooth and etale morphisms
- Duality and algebraic curves
Selected bibliography:
Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press, 2002.
R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52. Springer-Verlag, New York, 1977.
Meets every Wednesday, 14-16, Room t.b.a, Mathematics Department.
Topics on p-adic L-functions
WS 2016-17
Algebraic Geometry I
- Meets on Tuesday 12-14 (WSC-N-U-4.04), Wednesday 12-14 (WSC-S-U-3.02), problem session Friday 12-14 (WSC-N-U-3.05).
- Course in english
- Office hours: by appointment
Tentative program: This course is an introduction to the theory of schemes, their morphisms and cohomology, with examples taken from the theory of algebraic curves and varieties. Some basic knowledge of commutative algebra (such as that provided by Algebra 2) is desirable.
Selected bibliography:
Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press, 2002.
R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52. Springer-Verlag, New York, 1977.
During the period October 4-October 16 there will be a “crush course” in Commutative Algebra, for students who did not have prior exposure to this subject or wish to refresh their knowledge of it. See
Program
Seminar on Euler systems
Meets every Wednesday, 14-16, Tea Room, Mathematics Department.
Topics on p-adic L-functions
SS 2016
Algebra 2
- Termin: Di, 12-14, WSC-S-U-3.03; Mi 10-12, WSC-S-U-4.01
- Übung: Fri 10-12, WSC-S-U-4.01, Tutor: R. Venerucci.
Das Thema des Kurses ist die Untersuchung von Kommutativen Ringen und ihrer Eigenschaften. Grundlegende Beispiele sind der Ring von ganzen Zahlen, und der Ring von Polynomen mit komplexen Koeffizienten. Das erste Beispiel hat Verbindungen mit der Zahlentheorie, und das Zweite mit der Algebraischen Geometrie (insbesondere der Theorie von algebraischen Kurven ). Wir werden beide Verbindungen erklären.
Ausgewählte Literatur:
- Atiyah-McDonald,Introduction to Commutative Algebra.
- Bourbaki, Algèbre commutative
- Matsumura, Commutative Ring Theory
- Eisenbud, Commutative Algebra with a view towards algebraic geometry
Meets: Wednesday, 12-14, Tea-room
This seminar will focus mostly on the work of Yifeng Liu on twisted diagonal cycles.
References:
- Y. Liu, Hirzebruch-Zagier cycles and twisted triple product Selmer groups, Inventions Math., to appear.
- Y. Liu,
Doctoral mini-course on the theory of complex multiplication (Carlos de Vera Piquero)
Meets: Wednesday, 10-12, Tea-room.
This mini-course will establish the foundations of the theory of complex multiplication for elliptic curves and abelian varieties, following mostly the approach developed in Shimura’s book on the arithmetic theory of automorphic forms.
WS 2015-16
Seminar zur Elementare Zahlentheorie
Tag: Mittwoch, 14-16, WSC-S-U-3.01.
Um sich für das Seminar anzumelden, schreiben Sie bitte eine E-mail an massimo.bertolini@uni-due.de Das Programm der einzelnen Vorträge wird in den nächsten Wochen auf dieser Seite erscheinen.
PROGRAMM
N.B. Bitte entscheiden Sie sich für einen Vortrag und teilen Sie Ihre Wahl per email mit an massimo.bertolini@uni-due.de, oder aber geben Sie diese am ersten Tag der Veranstaltung am 21. Oktober an. Bei Auswahl des gleichen Vortrags von mehr als einem Studenten ist der Zeitpunkt der Nachricht entscheidend (es wird geraten, mindestens zwei verschiedene Vorträge anzugeben). Der erste Vortrag wird am 28. Oktober stattfinden. Es wird gebeten, den Vortrag (von bitte nicht mehr als einstündiger Dauer) vorher als Text niederzulegen und diesen sowohl an massimo.bertolini@uni-due.de als auch an rodolfo.venerucci@uni-due.de zu senden.
LITERATUR: [SO] W. Scharlau, H. Opolka, Von Fermat bis Minkowski, Springer Verlag 1980
VORTRAG 1: Erklärung des Beweises von Satz (2.3) (Zwei-Quadrate-Satz) ([SO], Seiten 10 - 12) und von Satz (2.9) ([SO], Seiten 11 und 3 - 4).
VORTRAG 2: Darstellung der Definition von Bernoulli-Zahlen und Erklärung des Beweises von Satz (3.4) ([SO], Seiten 17 - 26).
VORTRAG 3: Definition der Zetafunktion und Erklärung des Beweises von Satz (3.11) (und auch von Satz (3.13), wenn noch Zeit bleibt). ([SO], Seiten 28 - 33)
VORTRAG 4: Binäre quadratische Formen und ihre Reduktion. Darstellbarkeit von Primzahlen. ([SO], Seiten 40 - 53)
VORTRAG 5: Lösung der Fermatschen (Pellschen) Gleichung und Theorie der Kettenbrüche, I (bis Satz (4.17)). ([SO], Seiten 53 - 62)
VORTRAG 6: Lösung der Fermatschen (Pellschen) Gleichung und Theorie der Kettenbrüche, II (von Satz (4.19)). ([SO], Seiten 62 - 71)
VORTRAG 7: Erklärung des Kapitels 5 über Legendre. ([SO], Seiten 72-80)
VORTRAG 8: Gaußsche Summen. Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes mit oder ohne Kenntnis des Verzeichnisses der Gaußschen Summen. ([SO], Seiten 82-90)
VORTRAG 9: Erklärung des Beweises von Satz (6.7), (6.9) und (6.10). ([SO], Seiten 90 - 96)
VORTRAG 10: Ring der Ganzen Zahlen im quadratischen Zahlkörper. Zetafunktion zum Ring der ganzen Zahlen im quadratischen Zahlkörper. ([SO], Seiten 97 - 105)
VORTRAG 11: Theorie der binären quadratischen Formen. (Engere) Klassengruppe eines quadratischen Zahlkörpers. ([SO], Seiten 105 -119)
VORTRAG 12: ([SO], Seiten 72-80). Erklärung des Kapitels 7 über Fourier (insbesondere der Formel für zeta(2) an der Seite 132). ([SO], Seiten 125-134)
VORTRAG 13: Berechnung der Gaußschen Summen G(m). ([SO], Seiten 135-139)
VORTRAG 14: Primzahlen in arithmetischen Progressionen, I (bis Satz (8.5)). ([SO], Seiten 139-145)
VORTRAG 15: Primzahlen in arithmetischen Progressionen, II. ([SO], Seiten 146-150)
GRUNDDATEN
Veranstaltungsart: Seminar
Langtext: Bachelorseminar Elementare Zahlentheorie
Kurztext: SemEZ
Semester: WiSe 2015/16
SWS: 2
Erwartete Teilnehmer: 15
Max. Teilnehmer: 15
Credits: 6
Belegung: Keine Belegpflicht
Rhythmus: keine Übernahme
Sprache: Deutsch
ZUGEORDNETE PERSON: Bertolini, Massimo, Professor, PhD
ZIELGRUPPEN
LGyGe, Lehramt an Gymnasien u. Gesamtschulen
M M.Sc., Mathematik (Master of Science)
M B.Sc., Mathematik (Bachelor of Science)
ZUORDNUNG ZU EINRICHTUNGEN
Mathematik
INHALT
KOMMENTAR:
Das Thema des Seminars sind die elementaren Grundlagen der Zahlentheorie. Diese werden anhand der historischen Entwicklung dieses Fachgebiets veranschaulicht werden, unter Berücksichtigung der Beiträge von grossen Zahlentheoretikern der Geschichte, wie z.B. Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Gauß, Fourier, Dirichlet, …
Vorläufige Liste von Themen:
- Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes, Fermatsche-Pellsche Gleichung
- Bernoulli-Zahlen, Trigonometische Funktionen, Zeterfunktion, Partitionen
- Binäre quadratische Formen, Reduktion der definiten und indefiniten Formen, Darstellbarkeit von Primzahlen
- Lösung der Fermatschen-Pellschen Gleichung und Theorie der Kettenbrüche
- Legendre symbol, Quadratisches Reziprozitätsgesetz
- Kreisteilung, Gaußsche Summen, Beweis der quadratischen Reziprozitätsgesetzes
- Ring der ganzen Zahlen in quadratischen Zahlkörper, Zetafunktion und Klassengruppe
-Theorie der binären quadratischen Formen
- Summen von drei Quadraten und Laplace-Operator
- Primzahlen in arithmetischen Progressionen
- Nichtverschwinden der L-Reihe an der Stelle 1, Analytische Klassenzahlformel
LITERATUR
W. Scharlau, H. Opolka, Von Fermat bis Minkowski, Springer
BEMERKUNG: Anmeldung per eMail an massimo.bertolini@uni-due. de
VORAUSSETZUNGEN: Algebra 1 (nicht zwingend)
LEISTUNGSNACHWEIS: Seminarvortrag und aktive Mitarbeit im Seminar
- Meets on Tuesday 14-16 (WSC-N-U-4.03), Wednesday 12-14 (WSC-S-U-3.03), problem session Friday 14-16 (WSC-S-U-3.03).
- Course in english
- Office hours: by appointment
Tentative program: This course will describe the foundations of the arithmetic theory of modular forms. The first part of the course will be devoted to the theory of modular forms over the complex numbers, focusing mostly on the case of forms for the group SL_2(Z). Among others, it will discuss the calculation of the space of modular forms, q-expansions, Hecke operators, modular curves. The second part will introduce, following Serre, p-adic modular forms as p-adic limits of classical modular forms. Explicit examples and arithmetic applications will be discussed. In particular, the fundamentals of the theory of complex multiplication for singular invariants will be considered.
Selected bibliography:
J-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, GTM 7, 1973.
F. Diamond, J. Shurman, A first course in modular forms. Graduate Texts in Mathematics, 228. Springer-Verlag, New York, 2005.
J-P. Serre, Formes modulaires et fonctions zeta p-adiques, Summer School on Modular Functions, Antwerp 1972, pp. 191 - 268. Lecture Notes in Math., Vol. 350, Springer, Berlin, 1973.
Seminar on Complex Multiplication, Lecture Notes in Math., Vol. 21, Springer, Berlin, 1966.
Meets every Tuesday, 10-12, WSC-S-U-3.01, Mathematics Department.
Program
SS 2015
Modular forms
- Meets on Tuesday 10-12 (WSC-N-U-4.04), Wednesday 12-14 (WSC-O-3.46), problem session Friday 10-12 (WSC-N-U-4.03).
- Course in english
- Office hours: by appointment
- Problem sheets
Tentative program: This course will describe the foundations of the arithmetic theory of modular forms. The first part of the course will be devoted to the theory of modular forms over the complex numbers, focusing mostly on the case of forms for the group SL_2(Z). Among others, it will discuss the calculation of the space of modular forms, q-expansions, Hecke operators, modular curves. The second part will introduce, following Serre, p-adic modular forms as p-adic limits of classical modular forms. Explicit examples and arithmetic applications will be discussed.
Selected bibliography:
J-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, GTM 7, 1973.
F. Diamond, J. Shurman, A first course in modular forms. Graduate Texts in Mathematics, 228. Springer-Verlag, New York, 2005.
J-P. Serre, Formes modulaires et fonctions zeta p-adiques, Summer School on Modular Functions, Antwerp 1972, pp. 191 - 268. Lecture Notes in Math., Vol. 350, Springer, Berlin, 1973.
Meets every Tuesday at 14.15, WSC-O-4.65, Mathematics Department.
This seminar will focus on the calculation of different instances of p-adic Abel-Jacobi maps, and on the arithmetic applications of these concepts.
Selected bibliography:
H. Darmon, V. Rotger, Diagonal cycles and Euler systems II: The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for Hasse-Weil-Artin L-functions, preprint.
H. Darmon, A. Lauder, V. Rotger,
SS 2014
Number Theory 3
- Meets on Tuesday 12-14 (room 3.02), Wednesday 12-14 (room 4.04), problem session Friday 10-12 (room 4.04).
- Course in english
- Office hours: by appointment
- Problem sheets
Tentative program: The course will present the arithmetic theory of elliptic curves. The following topics will be touched upon. Geometry of elliptic curves; elliptic curves over finite fields; elliptic curves over local fields; elliptic curves over global fields; the Mordell-Weil theorem; Shafarevich-Tate groups and Selmer groups. Elements from the advanced theory of elliptic curves: connection with modular forms; L-functions of elliptic curves; the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. Applications of elliptic curves to cryptography: factorisation algorithms.
Selected bibliography:
J. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Springer-Verlag, GTM 106, 1986. Expanded 2nd edition 2009.
J. Silverman, J. Tate, Rational points on elliptic curves, Springer-Verlag, UTM, 1992.
WS 2013/14
Number Theory 2 (office hours: by appointment) problem sheets
Student seminar on Euler systems (meets every Monday at 2.15pm, tea room of the 3rd floor, Mathematics Department)