Seminar zu elliptischen Kurven
Voraussichtlicher Termin: Mi 16-18 (Im Fall von Überschneidungen mit anderen Veranstaltungen, können wir versuchen, den Termin zu verschieben.)
Termin 1. Vorbesprechung: Freitag 31.1.2014, 14:00 WSC-O-3.46
Wenn Sie an der Vorbesprechung nicht teilnehmen konnten, können Sie sich per email anmelden.
Zielgruppe: Studierende BA Mathematik, für die ersten Teile des Seminars sind die Vorträge auch als Bachelorseminar Lehramt GyGe geeignet, die späteren Vorträge lassen sich auch für fortgeschrittenere Studierende ausbauen.
Vorkenntnisse: Lineare Algebra, Analysis II, Grundbegriffe der Algebra (Ringe, Ideale, Quotienten, Polynomringe) wünschenswert.
Für spätere Vorträge sind Kenntnisse aus der Algebra hilfreich.
Je nach Vorkenntnissen der Teilnehmer, kann das Niveau des Seminars angepasst werden: Für Fortgeschrittene Teilnehmer kann Teil 3 beliebig ausgebaut werden und stattdessen Teil 1 und 2 verkürzt werden. Für Teilnehmer mit weniger Vorkenntnissen können wir auch Teil 1 und 2 ausbauen. Die unten angegebene Skizze der Vorträge ist ein Vorschlag, den wir ich auf Anfrage gerne entsprechend anpasse.
Überblick:
Im Seminar wollen wir die Geomtrie der Lösungsmengen von speziellen Polynomen in mehreren Variablen studieren.
Das Seminar beginnt mit einführenden Vorträgen zu Quadriken. Hier können wir lineare Algebra verwenden, um die Geometrie zu verstehen. Dabei ist es sehr nützlich den projektiven Raum zu verwenden.
Die nächst schwiergeren Gleichungen beschreiben sogenannte elliptische Kurven, die in für unwahrscheinlich viele Entwicklungen in der Mathematik zentral sind. Der Begriff stammt ursprünglich aus dem klassuschen Problem Formeln für den Umfang einer Ellipse zu bestimmen, was erstaunlich schwieirg ist und zu einem bestimmten Typ algebraischer Gleichungen führt.
Diese Gleichungen tauchen auch in vielen zahlentheoretischen Problemen auf, die teilweise noch immer ungelöst sind.
Die Geometrie der Lösungsmenge dieser Gleichungen erlaubt es, die Lösungsmenge mit einer Gruppenstruktur zu versehen. Die liefert einen Schlüssel zu vielen der Fragen und hat auch ganz praktische Anwendungen, zum Beispiel tragen Sie in Ihrem Reisepass eine elliptische Kurve mit sich herum, die der Verschlüsselung der elektronisch gespeicherten Daten dient.
Ein ausführlicheres Seminarprogramm finden Sie hier.
Einen vorläufigen Zeitplan finden Sie hier.
Geometrisch kann man sich eine elliptische Kurve entweder so:
oder so:
vorstellen.