Algebraische Geometrie 1
Die Termine der Vorlesung sind voraussichtlich:
Montag 10-12 Uhr WSC-N-U-4.05
Mittwoch 10-12 Uhr WSC-N-U-4.05
Übung: Freitag 12-14 WSC-N-U-4.05
Auf der Moodle-Seite zur Vorlesung werden Sie wöchentliche Informationen zur Vorlesung, Übungsblätter, Literaturangaben und ein Diskussionsforum finden. (AlgebraischeGeometrie)
Inhalt: Diese Vorlesung ist eine Einführung in die algebraische Geometrie - klassisch würde man darunter das Studium der Geometrie von Lösungsmengen polynomieller Gleichungssysteme verstehen. Wie Sie vielleicht in der Algebra (2) gesehen haben, kann man diese häufig in Termen von Ringen beschreiben.
Diese Formulierung hat den Vorteil, dass wir damit geometrische Konzepte wie Dimension, Tangentialraum, Glattheit so formulieren können, dass wir sie auch in nicht Zusammenhängen verwenden können, die nicht geometrisch aussehen, zum für Lösungsmengen von Gleichungssystemen in ganzen Zahlen.
Wie für Mannigfaltigkeiten ist es dann nützlich zu erlauben, geometrische Objekte zusammen zu kleben. Das führt auf den Begriff des Schemas.
In der Vorlesung wollen wir die Grundbegriffe der Schemata kennenlernen und diese dann verwenden um klassische Resultate über Kurven einzusehen.
Vorkenntnisse: Algebra und etwas kommutative Algebra: Ringe, Moduln, Ideale, Primideale, Lokalisieren, Tensorprodukte. Wenn Sie bereit sind, einige der Resultate aus der Kommutativen Algebra ohne Beweis zu akzeptieren, genügen auch geringere Vorkenntnisse in kommutativer Algebra.
Literatur: Es gibt viele gute Bücher über algebraische Geometrie, die allerdings häufig etwas umfangreich ausfallen. Hier nur eine kleine Auswahl.
Neuere Bücher sind:
R. Vakil: Foundations of Algebraic Geometry (Notes) http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/
Die ist ein relativ neues Buchprojekt, an dem ich die Vorlesung orientieren möchte.
U.Görtz, T. Wedhorn: Algebraic geometry I, Schemes with Examples and Exercises, Vieweg.
Die ist ein sehr umfangreiches Buch, in dem Sie wirklich sehr viele Grundlagen über Schemata finden.
Q. Liu: Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Univ. Press
Etwas ältere Quellen - nicht zu verachten!:
R. Hartshorne: Algebraic Geometry: Springer Graduate Texts in Mathematics 52
Das Buch, aus dem sehr viele Mathematiker Algebraische Geometrie gelernt haben. Es ist etwas in die Jahre gekommen, aber das Verhältnis von Inahlt zu Länge ist sehr hoch.
D. Mumford: The Red Book on Varieties and schemes. Springer Lecture Notes in Math. 1358
I. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry 1, 2, Springer
J. Dieudonné, A. Grothendieck: Eléménts de géométrie algébrique I-IV Publ. Math IHES 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960-67), gescannt auf numdam.org
Das ist der Klassiker der bisher letzten Revolution der Sprache der algebraischen Geometrie. Es ist immer noch die Standardreferenz - war aber villeicht nicht primär als Lehrbuch gedacht.
Eine wichtige neuere Quelle ist das Stacks-Project von A.J. deJong.
Hier finden Sie unglaublich viele Resultate. Auch das ist nicht als Lehrbuch entwickelt sondern vielleicht eher als online Enzyklopädie.